Дискретные цепи

Дискретной цепью называют любое устройство, которое преобразует входную последовательность отсчетов сигнала x(k) в выходную y(k). Пример подобного устройства приведен на рисунке 1.

Рисунок 1. Пример изображения дискретной цепи

Обычно нас интересуют линейные дискретные цепи. Особенностью этих дискретных цепей является то, что на выходе не образуется новых частотных составляющих сигнала. Если дискретная цепь является фильтром, то соотношение частотных компонент спектра входного сигнала на выходе изменяется. Это удается сделать при помощи дискретной свертки сигнала. Формула дискретной свертки входной последовательности отсчетов с импульсной характеристикой дискретной цепи (фильтра) записывается следующим образом:

(1)

где h(k) — импульсная характеристика дискретной цепи. Импульсную характеристику можно определить как отклик дискретной цепи на воздействие единичного импульса (δ-функция). Формулу свертки (1) можно записать в сокращенном виде, используя символ операции свертки '*':

y(k) = x(k)*h(k) (2).

Линейная дискретная цепь, будет устойчива, если выполняется условие

(3)

Рассмотрим простейшую дискретную цепь. Для этого воспользуемся аналогиями между аналоговыми дискретными цепями. Одной из простейших аналоговых цепей является интегрирующая RC-цепочка. Принципиальная схема интегрирующей RC-цепочки приведена на рисунке 2.

Рисунок 2. Принципиальная схема интегрирующей RC-цепочки

Импульсная характеристика интегрирующей RC-цепочки жестко связана с её амплитудно-частотной характеристикой. Зная импульсную характеристику любой схемы (цепи) можно узнать ее АЧХ, выполнив прямое преобразование Фурье над импульсной характеристикой. Если у двух разных схем будет одна и та же импульсная характеристика, то можно утверждать, что и амлитудно-частотные характеристики этих схем (цепей) будут одинаковыми. На рисунке 3 приведен пример импульсной характеристики интегрирующей цепочки.

Рисунок 3. Импульсная характеристика интегрирующей RC-цепочки

Теперь рассмотрим схему рекурсивной дискретной цепи. (Рекурсией называется последовательное приближение выходной величины к заданному значению по алгоритму, в котором используется предыдущее значение выходной величины.) Рекурсивная дискретная цепь приведена на рисунке 4.

Рисунок 4. Структурная схема рекурсивной дискретной цепи

В схеме дискретной цепи, приведенной на рисунке 4, параллельный регистр RG выполняет функцию элемента задержки, который обычно обозначается Z⁻¹. В данной схеме для вычисления очередного выходного отсчета сигнала используется следующая формула:

y(k) = x(k) + α·y(k−1) (4)

где α — коэффициент рекурсии.

Следует заметить, что для устойчивости дискретной рекурсивной цепи необходимо, чтобы коэффициент рекурсии был меньше единицы. При коэффициенте рекурсии, равной единице схема ведет себя как идеальный интегратор, что предполагает необходимость периодического обнуления регистра, хранящего предыдущее значение y(k). (Условная устойчивость схемы.) Импульсная характеристика рекурсивной дискретной цепи приведена на рисунке 5.

Рисунок 5. Импульсная характеристика рекурсивной дискретной цепи (ФНЧ)

Теперь рассмотрим как образуется данная импульсная характеристика. Известно, что для экспериментального определения импульсной характеристики цепи, на ее вход подается короткий импульс и смотрится осциллограмма сигнала на выходе этой цепи. Для дискретной цепи ситуация аналогичная. Для получения ее импульсной характеристики на вход дискретной цепи подается отсчет сигнала с единичной амплитудой и затем записываются все отсчеты сигнала на ее выходе.

Пусть коэффициент рекурсии дискретной цепи, изображенной на рисунке 4 будер равен 0,85. Тогда первый отсчет пройдет на ее выход без изменения. В следующий момент времени сигнал на входе равен нулю, поэтому этот и все остальные отсчеты выходного сигнала будут определяться коэффициентом рекурсии. Второй выходной отсчет сигнала будет равен 0,85 (1 × 0,85 = 0,85). Третий отсчет сигнала будет равен 0,72 (0,85 × 0,85 = 0,72). Четвертый отсчет сигнала будет равен 0,62 (0,72 × 0,85 = 0,62), и т.д.

Как мы видим, импульсные характеристики непрерывной и дискретной цепей похожи друг на друга, поэтому мы вправе рассчитывать, что они обладают одинаковыми свойствами. И в том и в другом случае это будут фильтры низкой частоты. И в том и в другом случае полюс цепи настроен на нулевую частоту, а скорость спада импульсной характеристики будет определять добротность этого полюса и в конечном итоге полосу пропускания фильтра низкой частоты.

Для того, чтобы превратить данную дискретную схему в фильтр высоких частот, достаточно изменить знак коэффициента рекурсии. В этом случае полюс цепи перемещается на частоту f_д/2, а импульсная характеристика будет выглядеть, как это показано на рисунке 6.

Рисунок 6. Импульсная характеристика рекурсивной дискретной цепи (ФВЧ)

Подобной цепи соответствует дифференцирующая RC-цепочка, схема которой приведена на рисунке 7.

Рисунок 7. Принципиальная схема дифференцирующей RC-цепочки

Аналогичным образом можно реализовать импульсную характеристику в нерекурсивных (трансверсальных) дискретных цепях. Отличием является то, что в нерекурсивных дискретных цепях задаются все отсчеты импульсной характеристики отдельно. Это может быть реализована следующей формулой:

y(k) = b1·x(k) + b2·x(k − 1) + b3·x(k − 2) + b4·x(k − 3) + b5·x(k − 4) + b6·x(k − 5) + ... (5)

В данной формуле коэффициенты b1, b2, ..., bn задают являются отсчетами импульсной характеристики дискретной цепи. Структурная схема нерекурсивной (трансверсальной) дискретной цепи приведена на рисунке 8.

Структурная схема нерекурсивной дискретной цепи

Рисунок 8. Структурная схема нерекурсивной (трансверсальной) дискретной цепи

Подобные дискретные схемы еще называются фильтрами с конечной импульсной характеристикой или КИХ-фильтры. Естественно, что для реализации фильтра с заданными характеристиками в данной схеме дискретной цепи потребуется большее количество элементов, однако при ее реализации на конкретных микросхемах, таких как FPGA или сигнальных процессорах на сложность схемы могут накладываться особенности архитектуры этих микросхем. Достаточно часто дискретные цепи содержат как рекурсивную, так и трансверсальную части, но это мы рассмотри в отдельной главе.

Вместе со статьей "Дискретные цепи" читают: