Дата последнего обновления файла 18.06.2013

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод решения линейных дифференциальных уравнений. Преобразование Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому уравнению. Как известно, линейные цепи, и фильтры в первую очередь описываются дифференциальными уравнениями, поэтому преобразование Лапласа позволяет легко проектировать частотно-избирательные фильтры. Применение преобразования Лапласа можно свести к следующему алгоритму:

  1. Во временной области записывается дифференциальное уравнение, описывающее зависимость выходного сигнала от входного
  2. Дифференциальное уравнение подвергается преобразованию Лапласа
  3. Алгебраическими методами находится решение уравнения
  4. Уравнение выходной функции подвергается обратному преобразованию Лапласа

Преобразование Лапласа непрерывной функции времени f(t), которая определена только для положительного времени (t > 0) математически выражается как:

Формула преобразования Лапласа       (1)

где s(t) — комплексное число s = σ + jω

Учитывая, что комплексная экспонента по формуле Эйлера является синусоидой с некоторой начальной фазой, а экспонента e−σt является функцией затухания (как у RC-цепочки), то функция est является затухающей синусоидой. График этой функции приведен на рисунке 1

График затухающей синусоиды
Рисунок 1. График затухающей синусоиды est

Таким образом преобразование Лапласа можно рассматривать как разложение выходного сигнала функциями затухающих синусоид. При этом преобразование Фурье, в том числе и быстрое преобразование Фурье (БПФ), можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа, когда синусоиды являются незатухающими (σ = 0). При этом следует учитывать то, что в преобразовании Лапласа, в отличие от преобразования Фурье, применяются не абстрактные математические функции, а импульсные характеристики реальных цепей, например, колебательных контуров или RC цепочек. В результате, в отличие от бесконечного спектра Фурье, выходной сигнал может быть представлен небольшим конечным числом затухающих синусоид est.

Теперь рассмотрим пример применения преобразования Лапласа. Пусть имеется линейное устройство, инвариантное во времени (параметры линейного устройства не зависят от времени). Структурная схема подобного устройства приведена на рисунке 2.

Структурная схема линейного устройства
Рисунок 2. Структурная схема линейного устройства

Линейная система может быть описана дифференциальным уравнением с постоянными параметрами:

Формула дифференциального уравнения с постоянными параметрами       (2)

В этом уравнении коэффициенты a и b обычно представляют собой индуктивности, емкости и сопротивления элементов линейного устройства. Преобразуем данное уравнение в s-плоскость при помощи преобразования Лапласа. При этом учтём, что производная экспоненты равна самой экспоненте:

Формула дифференцирования экспоненты       (3)

Благодаря этому свойству в результате преобразования Лапласа уравнение (2) преобразуется в

Формула отклика линейной системы в s-плоскости

или

Измененная формула отклика линейной системы в s-плоскости       (4)

Из этого уравнения можно определить функцию передачи линейного устройства:

Формула функции передачи линейного устройства       (5)

Как видим, преобразованное в s-плоскость уравнение намного проще исходного уравнения (2). Одной из важнейших характеристик системы является ее устойчивость. Дело в том, что в ряде линейных устройств, как цифровых, так и аналоговых, применяется обратная связь. Эта обратная связь может привести к неустойчивости системы в целом, поэтому анализ линейного устойства на устойчивость является одним из важнейших этапов разработки узлов радиоэлектронной аппаратуры.

Пусть у нас есть система, описываемая следующим выражением:

Формула функции передачи линейного устройства       (6)

При s = a0/a1 знаменатель (6) обращается в ноль, а модуль H(s) устремляется в бесконечность. Точку s = a0/a1 называют полюсом передаточной функции. На рисунке 3 приведена s-плоскость, на которой полюс отмечен крестиком 'x'.

Представление функции H(s) на s-плоскости
Рисунок 3. Представление функции H(s) на s-плоскости

В приведенном на рисунке 3 случае полюс расположен на нулевой частоте и обладает затуханием σ. Это соответствует RC-цепочке с импульсной характеристикой, приведенной на рисунке 4.

Импульсная характеристика полюса, расположенного на нулевой частоте
Рисунок 4. Импульсная характеристика полюса, расположенного на нулевой частоте

Если полюс расположен на оси частот на частоте ω0, то его импульсная характеристика соответствует рисунку 1. Обычно полюса расположены симметрично относительно нулевой частоты, как это показано на рисунке 5. Это обеспечивает реальный (не комплексный) отклик электрической цепи.

Расположение полюсов параллельного LC контура на s-плоскости
Рисунок 5. Расположение полюсов параллельного LC контура на s-плоскости

В качестве примера электрической цепи, обладающей полюсами, подобными приведенной на рисунке 5 схеме, можно назвать параллельный LC контур. При этом чем ближе полюс будет расположен к оси частот, тем больше будет добротность LC контура. Если полюса будут расположены на оси частот или правее этой оси, то схема становится неустойчивой и превращается в генератор. Подобная ситуация возможно только в схемах, содержащих усилительные элементы, охваченные обратной связью.

Литература:

  1. Б. Голд, Ч. Рейдер Цифровая обработка сигналов. пер. с англ., под ред. А. М. Трахтмана. М., "Сов. радио", 1973, 368 с.
  2. Ричард Лайонс Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — М: Бином-Пресс, 2006. — 656 с.
  3. Куприянов М. C. Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — СПб: Политехника, 2000. — 592 с.
  4. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — СПб: Питер, 2006. — 751 с.
  5. БПФ по основанию 2 с прореживанием по времени (dsplib.ru)
  6. Быстрое преобразование Фурье

Вместе со статьей "Преобразование Лапласа" читают:

Быстрое преобразование Фурье
http://digteh.ru/dsp/FFT/

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
http://digteh.ru/dsp/DFT/

Z–преобразование
http://digteh.ru/dsp/Z/

Дискретные цепи
http://digteh.ru/dsp/DiscrNet/


Автор Микушин А. В. All rights reserved. 2001 ... 2015

Предыдущие версии сайта:
http://neic.nsk.su/~mavr
http://digital.sibsutis.ru/

пЕИРХМЦ@Mail.ru


Rambler's Top100