Дата последнего обновления файла 25.04.2013

Дискретизация сигналов

На рисунке 1 приведены основные требования к устройствам дискретизации аналогового сигнала. Дискретизация непрерывных аналоговых данных должна осуществляться с интервалом времени tд = 1/fд. При разработке цифрового устройства этот период должен тщательно выбираться для реализации точного представления первоначального аналогового сигнала в цифровой форме.

КРИТЕРИИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ПО КОТЕЛЬНИКОВУ
  • Частота дискретизации fд сигнала с шириной полосы fв должна удовлетворять условию fд > 2fв, в противном случае информация о сигнале будет потеряна
  • Эффект наложения спектров возникает, когда fд < 2fв
  • Эффект наложения спектров широко используются в таких задачах, как прямое преобразование ПЧ в цифровую форму

Очевидно, что чем больше будет взято отсчетов аналогового сигнала на интервале времени (больше выбранная частота дискретизации), тем более точным будет представление этого сигнала в цифровом виде. При уменьшении количества отсчетов в единицу времени (уменьшении частоты дискретизации) можно достигнуть предела, после которого преобразованный в цифровую форму сигнал будет искажен до такой степени, что будет невозможно восстановить его в первоначальном виде.

Иными словами, в соответствии с теоремой Котельникова требуется, чтобы частота дискретизации аналогового сигнала была, по крайней мере, вдвое больше полосы полезного сигнала, иначе информация об исходном виде аналогового сигнала будет потеряна. Если выбрать частоту дискретизации меньше (а в большинстве практических устройства и равной) удвоенной полосы частот преобразуемого аналогового сигнала, то возникает эффект, известный как наложение (заворот) спектра (aliasing).

Обычно анализ аналоговых цепей производится при помощи синусоидального сигнала. На нем проще понять физический смысл явлений, возникающих в исследуемом блоке. Так как дискретизатор является аналоговым устройством, то воспользуемся этим методом и мы. Для понимания физического смысла наложения спектра, рассмотрим эффекты, возникающие при дискретизации синусоидального сигнала. Эти эффекты мы проанализируем, как во временном, так и в частотном представлении исследуемого сигнала.

В качестве примера, иллюстрирующего эффект наложения спектра (заворота спектра), на рисунке 2 приведена временная диаграмма синусоидального сигнала, дискретизированного по времени идеальным дискретизатором.


Рисунок 2. Влияние стробоскопического эффекта во временной области, приводящее к наложению спектров входного сигнала

В приведенном на этом рисунке примере, частота дискретизации fд выбрана лишь ненамного выше частоты входного аналогового сигнала fв. То есть мы нарушили теорему Котельникова! Обратите внимание, что в результате дискретизации, мы получили отсчеты сигнала, частота которого равна разности частот дискретизации и исходного сигнала fд – fa. То есть мы наблюдаем низкочастотный образ реального сигнала. Этот эффект известен в технике как стробоскопический эффект.

На рисунке 3 приведено частотное представление той же самой ситуации. На этом рисунке четко видно, что на выходе идеального дискретизатора появляется не только низкочастотная составляющая с частотой fд – fa, но и fд + fa, 2×fд – fa, 2×fд + fa и т.д.

Теперь рассмотрим дискретизацию одиночного синусоидального сигнала с частотой fa идеальным дискретизатором с частотой следования стробирующих импульсов fд. Пусть, fд > 2fa. В частотном спектре на выходе дискретизатора появляются гармоники частоты дискретизации fд, промодулированные исходным сигналом, в результате чего появляются образы входного сигнала на частотах, равных |±Kfд ± fa|, где K = 1, 2, 3, 4, ... Эта ситуация отчетливо видна на спектре сигнала полученного с выхода идеального дискретизатора, приведенном на рисунке 3.

Спектр дискретизированного аналогового сигнала
Рисунок 3. Спектр дискретизированного аналогового сигнала

Полоса сигнала по Котельникову определяется как спектр от постоянного тока до fд/2. Частотный спектр на входе дискретизатора разделяется на бесконечное число зон. Полоса частот каждой зоны составляет 0,5fд. На практике, идеальный дискретизатор перемещает все высокочастотные образы сигнала в полосу частот от 0 до fд/2, и накладывает их на сигнал, присутствующий в первой зоне частот Котельникова.

Теперь рассмотрим случай, когда частота полезного сигнала выходит за пределы первой зоны Котельникова. При частоте сигнала, немного ниже частоты дискретизации, временная диаграмма приведена на рисунке 2. Этот случай тоже можно проиллюстрировать рисунком 3, однако на этот раз в качестве входного сигнала следует рассматривать сигнал во второй зоне Котельникова, а компонента сигнала в первой зоне возникает после процесса дискретизации.

Обратите внимание, что, несмотря на то, что сигнал находится вне первой зоны Найквиста, его продукт преобразования fд – fa попадает внутрь этой зоны. Возвращаясь к рисунку 3, становится ясно, что, если мешающий сигнал появляется на любом из образов частоты fa, то он тут же переносится на частоту fa, приводя, таким образом, к появлению мешающего частотного компонента в первой зоне Котельникова.

Такой процесс подобен работе аналогового смесителя. Это означает, что перед устройством дискретизации сигнала обязательно требуется аналоговая фильтрация, подавляющая компоненты этого сигнала, частоты которых находятся вне полосы первой зоны Котельникова и после дискретизации попадают в ее пределы. Требования к амплитудно-частотной характеристике аналогового фильтра на входе дискретизатора будут зависеть от того,как близко частота внеполосного сигнала отстоит от fд/2, а также величиной требуемого подавления. Эти вопросы мы рассмотрим позднее в главе, посвященной фильтрам, предназначенным для устранения эффекта наложения спектров.

Математическое описание дискретного сигнала

В дискретных системах сигналы представляют собой последовательности отсчетов, взятые через равные промежутки времени Δt. Для того, чтобы выделить одиночный момент времени в математическом представлении применяется дельта-функция δ(t). Как известно, эта функция равна нулю на всем протяжении времени и только в нулевой момент времени становится бесконечной. Так как площадь под дельта-функцией равна единице, то при умножении любой функции (в том числе и входного сигнала) на дельта-функцию мы получим значение входного сигнала в нулевой момент времени.

x(tδ(t) = x(0)       (1)

Если нас интересует значение функции в момент времени T, отличающийся от нуля, то дельта-функцию можно записать: δ(t − T). Тогда значение функции входного сигнала x(t) в момент времени T можно выделить следующим образом:

x(T) = x(tδ(t − T)       (2)

Для выделения функции в определенные моменты времени, взятые с равными интервалами придется использовать уже сумму дельта-функций. Тогда функцию дискретизации D, представляющую собой сумму дельта-импульсов, отстоящих друг от друга на интервал времени Δt можно записать следующим образом:

Формула дискретизации       (3)

График функции дискретизации приведен на рисунке 1.

График функции дискретизации
Рисунок 1. График функции дискретизации

Теперь для того, чтобы получить дискретизированный сигнал, достаточно умножить функцию дискретизации на исходный непрерывный сигнал x(t). Учитывая, что площать дельта-функции равна единице, в моменты времени, кратные Δt, дискретизированный сигнал будет равен исходному сигналу x(t), а в остальное время дискретизированный сигнал будет равен нулю. В качестве примера на рисунке 2 приведены графики исходного непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного сигнала xд(t).

Графики непрерывного и дискретизированного сигналов
Рисунок 2. Графики непрерывного и дискретизированного сигналов

Математическое представление дискретного сигнала xд(t) можно записать в следующем виде:

Формула дискретизации непрерывного сигнала       (4)

Литература:

  1. Walt Kester "Mixed signal and DSP design techniques" 2000
  2. Б. Голд, Ч. Рейдер Цифровая обработка сигналов. пер. с англ., под ред. А. М. Трахтмана. М., "Сов. радио", 1973, 368 с.
  3. Ричард Лайонс Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — М: Бином-Пресс, 2006. — 656 с.
  4. Куприянов М. C. Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — СПб: Политехника, 2000. — 592 с.
  5. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — СПб: Питер, 2006. — 751 с.

Вместе со статьей "Дискретизация сигналов" читают:

Виды сигналов
http://digteh.ru/dsp/VidySign/

Фильтры устранения эффекта наложения спектров (Антиалиасинговые фильтры)
http://digteh.ru/dsp/AntiFlt/

Виды аналого-цифровых преобразователей (АЦП)
http://digteh.ru/dsp/ADC/


Автор Микушин А. В. All rights reserved. 2001 ... 2015

Предыдущие версии сайта:
http://neic.nsk.su/~mavr
http://digital.sibsutis.ru/

пЕИРХМЦ@Mail.ru


Rambler's Top100