Фильтры устранения эффекта наложения спектров (Антиалайзинговые фильтры)

При дискретизации низкочастотного сигнала такого как, звуковой сигнал, видеосигнал или цифровой сигнал предполагается, что спектр дискретизируемого сигнала полностью находится в первой зоне Найквиста. Однако это не так. Реальный сигнал не ограничен по спектру и в общем случае спектр любого реального сигнала распространяется до бесконечности.

Если на входе идеального дискретизатора не ограничить спектр сигнала при помощи фильтра, то любая частотная составляющая (помеха или шум), которая находится выше верхней частоты Котельникова, будет отображаться в полосу частот полезного сигнала, находящуюся в диапазоне частот от 0 до f_д/2. Поэтому при дискретизации низкочастотного сигнала (baseband sygnal) на входе аналого-цифрового преобразователя или фильтра на переключаемых конденсаторах для подавления мешающих сигналов всегда ставится аналоговый фильтр нижних частот, который позволяет уменьшить вредные последствия эффекта наложения спектра сигналов.

В теореме Котельникова неявно предполагалось, что на входе дискретизатора стоит фильтр с прямоугольной характеристикой, который пропускает частоты от 0 до f_д/2 и не пропускает все частоты выше f_д/2. Такой фильтр не реализуем на практике. Поэтому очень важно правильно определить требования к характеристикам аналогового фильтра нижних частот, ограничивающего спектр сигнала на входе дискретизатора (фильтра устранения эффекта наложения спектров).

Сначала определим основные параметры полезного дискретизируемого сигнала. Одним из важнейших параметров полезного сигнала является его верхняя частота f_в. Аналоговый входной фильтр должен пропускать сигналы, лежащие в полосе частот полезного сигнала от 0 до f_в, и подавлять сигналы из второй зоны Найквиста. Для того, чтобы это стало возможным, выберем частоту дискретизации f_д больше 2×f_в Тогда на частоту f_в будет отображаться частота f_д − f_в. Начиная с этой частоты фильтр устранения наложения спектров (антиалиасинговый фильтр) должен подавлять все составляющиевходного спектра сигнала.

На рисунке 1 показан механизм возникновения помехи, обусловленной эффектом наложения спектра сигналов (алиасингом). В данном примере показано отображение сигнала из второй зоны Найквиста в полосу полезного сигнала. Естественно, что в полосу полезного сигнала попадет и помеха из второй зоны Найквиста, но ее уровень будет намного ниже. ФНЧ в дальней зоне обладает лучшим подавлением по сравнению с частотами близкими к частоте среза фильтра.

Влияние частоты дискретизации на требования к характеристикам фильтра устранения эффекта наложения спектров

Рисунок 1. Влияние частоты дискретизации на требования к характеристикам аналогового фильтра устранения эффекта наложения спектров

На данном рисунке показан исходный спектр входного сигнала. Для простоты он принят равномерным во всем диапазоне частот. После прохождения через фильтр устранения эффекта наложения спектров форма спектра входного сигнала принимает форму АЧХ данного фильтра. После дискретизации данный спектр появляется вокруг частоты дискретизации. Именно эта помеха определяет динамический диапазон цифрового устройства DR.

В приведённом примере составляющие спектра, которые попадают в диапазон частот от f_в до f_д/2, не представляют интереса, так как они будут в дальнейшем отфильтрованы цифровым фильтром. Поэтому они не ограничивают динамический диапазон разрабатываемой системы. Необходимо отметить, что в ряде источников эффект отображения частот верхних зон Найквиста в первую зону называется эффектом "заворота спектра".

Из рисунка 1 видно, что требования к крутизне амплитудно-частотной характеристики входного аналогового фильтра определяется верхней частотой сигнала f_в, началом полосы задерживания f_з = f_д – f_в и требуемым затуханием в полосе задерживания аналогового фильтра.

Требуемое затухание аналогового фильтра в полосе задерживания определяется динамическим диапазоном полезного сигнала DR. Динамический диапазон цифрового устройства выбирается исходя из заданной точности представления сигнала. При этом нижняя граница динамического диапазона DR будет определяться уровнем всех помех, попадающих в полосу частот полезного сигнала.

При всех прочих равных условиях фильтры становятся более сложными при увеличении крутизны спада АЧХ. Известно, что фильтр Баттерворта обладает крутизной спада АЧХ 6 дБ/октаву.

Рассмотрим в качестве примера фильтр, требующийся для звуковой карты. Зададимся верхней частотой звукового сигнала. Пусть эта частота будет равна 20 кГц. Для обеспечения подавления мешающего сигнала на частоте 40 кГц на 60 дБ, (отстройка по частоте равна 1 октаве) требуется как минимум фильтр 10-го порядка. Подобный фильтр, весьма трудоемок при разработке и дорог в производстве.

Тем не менее, при таких условиях частота дискретизации входного сигнала должна быть не менее 60 кГц и при этом мы сможем обеспечить только 10-разрядную точность представления сигнала в цифровом виде.

Кроме сложности разработки и производства подобных фильтров, фильтры высокого порядка обладают ещё рядом недостатков, таких как нелинейная фазовая характеристика и связанное с ней увеличение групповой задержки полезного сигнала на краю полосы пропускания фильтра.

Увеличение групповой задержки на краю полосы пропускания фильтра может привести к тому, что даже при работе со звуковым сигналом эти искажения будут восприниматься человеческим ухом. Еще большее влияние фазовые искажения оказывают при приеме цифровых сигналов или при обработке сигналов изображения.

Все перечисленные выше факторы приводят к тому, что при преобразовании сигнала из аналоговой формы в цифровую, нежелательно использовать для формирования спектра аналоговые фильтры высокого порядка, так как они вызывают значительные искажения формы исходного аналогового сигнала.

Рисунок 2. АЧХ фильтра Баттерворта 10-го порядка

В качестве примера характеристик аналогового фильтра на рисунке 2 приведена амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта 10-го порядка, на рисунке 3 — приведена фазочастотная характеристика этого же фильтра, а на рисунке 4 — зависимость группового времени запаздывания входного сигнала от частоты.

Рисунок 3. ФЧХ фильтра Баттерворта 10-го порядка

Рисунок 4. Групповая задержка фильтра Баттерворта 10-го порядка

По этим характеристикам можно определить, что фазовая характеристика обладает наибольшей крутизной на краю полосы пропускания фильтра, на частоте 11 кГц. Это обусловлено наибольшей задержкой высокочастотных составляющих входного сигнала. Задержка сигнала на частоте 11 кГц достигает значения 12 мс. Такое значение задержки высокочастотных составляющих звукового сигнала уже воспринимается человеческим ухом как искажение исходного сигнала.

Из приведённых рассуждений видно, что на входе аналого-цифрового преобразователя нежелательно использовать аналоговый фильтр высокого порядка. Тогда единственной возможностью увеличения динамического диапазона цифрового устройства остается увеличение разноса частот полезного и мешающего сигналов. Это может быть осуществлено за счет увеличения частоты дискретизации входного сигнала.

Обычно частоту дискретизации увеличивают в целое число раз для того, чтобы в дальнейшем можно было бы ограничить полосу сигнала при помощи цифрового фильтра и затем в соответствующее число раз уменьшить частоту дискретизации сигнала на его выходе, иначе говоря, провести операцию децимации цифрового сигнала.

Подобная ситуация иллюстрируется рисунком 3, где частота дискретизации аналогового сигнала увеличена в k раз, по сравнению со случаем, приведенным на рисунке 1 при неизменных требованиях к частоте среза f_в и к динамическому диапазону DR. Более пологий скат делает новый фильтр проще для проектирования, по сравнению со случаем, показанным на рисунке 1.

Рисунок 5. Влияние частоты дискретизации на требования к характеристикам аналогового фильтра

Выбор более высокой скорости дискретизации приводит к необходимости использования более быстрого АЦП и более высокой скорости обработки данных. Тем не менее, ИЗБЫТОЧНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УМЕНЬШАЕТ ТРЕБОВАНИЯ К КРУТИЗНЕ СПАДА АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГОВОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ.

Процесс проектирования аналогового фильтра, предназначенного для устранения эффекта наложения спектров, начинается с выбора начальной частоты дискретизации. Она обычно выбирается в диапазоне от 2,5×f_в до 4×f_в. Затем, исходя из требуемого динамического диапазона, определяются требования к амплитудно-частотной характеристике фильтра, и определяется реализуемость такого фильтра с учетом ограничений по стоимости и габаритам разрабатываемой системы.

Если реализация входного аналогового фильтра окажется невозможной, то следует рассмотреть вариант с более высокой частотой дискретизации. При выборе такого варианта, возможно, потребуется более скоростной аналого-цифровой преобразователь. В ряде случаев разрядность скоростного АЦП можно взять ниже по сравнению с разрядностью низкоскоростного аналого-цифрового преобразователя, так как цифровые фильтры обладают свойством уменьшения шумов дискретизации.

Следует отметить, что Σ-Δ-АЦП изначально являются преобразователями с избыточной дискретизацией, и данное обстоятельство существенно ослабляет требования к аналоговому фильтру, предназначенному для устранения эффекта наложения спектров, что является дополнительным преимуществом при применении данного вида аналого-цифровых преобразователей.

Требования к аналоговому фильтру, предназначенному для устранения эффекта наложения спектров могут быть несколько ослаблены, если вы уверены, что сигналы с частотами, лежащими в полосе задерживания f_д – f_в, никогда не превысят уровня полезного сигнала.

Во многих системах появление таких сигналов действительно маловероятно. Если известно, что максимальный уровень сигнала в полосе частот f_д – f_в меньше амплитуды полезного сигнала на N дБ, то требования к затуханию в полосе задерживания входного фильтра может быть уменьшены на ту же самую величину.

Новые требования к затуханию в полосе задерживания f_д – f_в основано на том факте, что в этом случае требующееся значение подавления мешающего сигнала составляет DR – N дБ. В случае реализации этого варианта будьте внимательны. Убедитесь, что во входном сигнале нет любых составляющих спектра с частотами выше частоты f_в с уровнем, равным уровню полезного сигнала. Все эти составляющие спектра будут создавать низкочастотные мешающие образы в полосе частот полезного сигнала.

Обратите внимание, что возможна обратная ситуация, когда уровень высокочастотных составляющих входного сигнала может превышать уровень полезного сигнала. В этом случае требования к входному фильтру низких частот ужесточаются на величину превышения уровня помех над полезным сигналом.

Вместе со статьей "Фильтры устранения эффекта наложения спектров (Антиалиасинговые фильтры)" читают: